Основные принципы комбинаторики
Основные принципы комбинаторики. Правило сложения. Правило умножения. Принцип Дирихле. Пример применения принципа Дирихле. Теорема о раскраске множества в два цвета. Мощности множества попарно неортогональных {-1,0,1}-векторов : верхняя и нижняя оценки. Числа сочетаний, размещений и перестановок.
Комбинаторные тождества
Бином Ньютона. Полиномиальная формула. Формула включений и исключений. Простейшие тождества. Треугольник Паскаля. Сумма биномиальных и полиномиальных коэффициентов. Сумма квадратов биномиальных коффициентов. Формулы для суммы степеней натуральных чисел. Знакопеременное тождество.
Формула обращения Мёбиуса
Формула для количества ‘слов’. Определение циклической последовательности. Формулировка проблемы. Простое число. Бесконечность простых. Основная теорема арифметики. Функция Мебиуса. Суммы по делителям. Формула обращения Мебиуса.
Циклические последовательности
Вывод формулы для количества циклических последовательностей. Частично упорядоченное множество. Обобщенная функция Мебиуса. Связь с обычной функцией Мебиуса. Теорема об формуле обращения Мебиуса на ч.у.м. Передоказательство формулы включений и исключений (часть 1) (*).
Разбиения
Разбиения чисел на слагемые. Упорядоченные и неупорядоченные разбиения. Формула для числа упорядоченных разбиений. Рекуррентное соотношение для числа неупорядоченных разбиений. Формула Харди-Рамануджана. Диаграмма Юнга. Теоремы Эйлера о равенстве количеств неупорядоченных разбиений. Передоказательство формулы включений и исключений (часть 2) (*).
Линейные рекуррентные соотношения. Формальные степенные ряды.
Линейные рекуррентные соотношения. Числа Фибоначчи. Теорема о решении линейного рекуррентного соотношения второго порядка. Формальные степенные ряды. Операции над рядами. Пример “деления в столбик”.
Производящие функции
Производящие функции. Теорема о сходимости степенных рядов (б/д). Примеры, иллюстрирующие теоремы. Сходимость на границе интервала. Числа Фибоначчи и их производящая функция. Суммы чисел Фибоначчи, чисел сочетания и пр. Числа Каталана. Извлечение корней из степенных рядов. Формула для числа Каталана: д-во через производящие функции.
Экзамен
